Sai phân

I.

Bạn đang xem: Sai phân

Các quan niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác minh thuộc Z Gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không nên phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số tại hai cực hiếm tiếp nối nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cung cấp m của hàm số Un là không đúng phân của không đúng...


*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các định nghĩa cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm tất cả tập xác định ở trong Z điện thoại tư vấn là hàm số có đối số ngulặng.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số tại hai cực hiếm tiếp đến nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp cho m của hàm số Un là không đúng phân của không đúng phân cấp m-1 của hàm số kia : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương tự ta có thể màn biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình không đúng phân Định nghĩa : là PT với hàm số đề xuất tìm kiếm là một hàm đối số rời rốc f (n) = Un có mặtdưới dạng sai phân những cấp cho.PT sai phân cung cấp m tất cả dạng tổng quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay có thể viết bên dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT không nên phân là hàm số đối số tách rốc Un =f(n) nhưng mà Lúc cố Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức bên trên tập hợp những số nguim n0.Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp cho n bao gồm dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất kì, Lúc gán cho từng kí từ bỏ C1, C2,...,Cn một vài xác địnhta được một nghiệm riêng rẽ của PT.PT không đúng phân Ôtônôm là PT gồm dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình sai phân đường tính1. Pmùi hương trình sai phân đường tính cấp cho 1Định nghĩa: Là phương thơm trình tất cả dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong đó an, bn, fn là những hàm đối số ngulặng. Un với Un+một là nhì quý giá kề nhau của hàmUn đối số nguim đề xuất search.Nếu an cùng bn là các hằng số thì ta có phương trình không đúng phân thông số hằng.Phương thơm trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) điện thoại tư vấn là pmùi hương trình thuần duy nhất khớp ứng của (1).Ví dụ:Một người tiêu dùng tất cả số chi phí là A đồng, rước gửi tiết kiệm ngân sách, lãi xuất từng tháng là 1%.Lập mô hình về thực trạng chi phí vốn của doanh nghiệp. 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình không nên phân cấp caoa. Phương trình không nên phân cung cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là những hằng số thì ta bao gồm phương thơm trình không nên phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta có phương trình thuần độc nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến đường tính ko thuần độc nhất cùng U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần độc nhất link thì nghiệm bao quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã mang đến Fibonacci một bài bác tân oán nlỗi sau: “Hômni, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai mon tuổi bắt đầu đẻ cùng tiếp đến mỗimon đẻ một lứa, từng lứa là 1 trong cặp thỏ. Hết năm, tôi có từng nào cặp thỏ ?”Giải: hotline Fn là số cặp thỏ có được ở tháng đồ vật n.Tháng trước tất cả Fn-1 cặp, trong những số ấy chỉ gồm số thỏ mon trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 cùng với F1 = 1, F2 = 1.b. Pmùi hương trình sai phân cung cấp kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không đúng phân đường tính cung cấp 1 thông số hằng1. Phương trình không nên phân đường tính thuần độc nhất vô nhị Nghiệm tổng thể : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 số lượng dân sinh TP.. hà Nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1% 1 năm. Hỏidân sinh Hà Nội Thủ Đô năm 2050 là bao nhiêu?Giải: Gọi un là dân số Hà Nội năm thiết bị n + 1990 1Ta tất cả un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình không nên phân con đường tính ko thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) cùng với q 0. PT thuần nhất links Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 trong nghiệm của PT sai phân con đường tính không thuần tuyệt nhất (1) cùng U1n là mộtnghiệm của PT thuần độc nhất liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa search nghiệm riêng rẽ của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng rẽ là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng là = qn.IV. Phƣơng trình không đúng phân tuyến đường tính cấp cho 2 thông số hằng1. Pmùi hương trình sai phân tuyến tính thuần độc nhất :Xét phương thơm trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn độc lập tuyến đường tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng chủ quyền tuyến đường tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng quát của (3).Chứng minh:điện thoại tư vấn Un là 1 nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng tỏ rằng trường thọ Au và Bu làm thế nào cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số dựa vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ pmùi hương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm duy nhất Au cùng Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minch bởi quy nạp, ta gồm Un = Au.xn + Bu.yn đều nghiệm của (3) phần nhiều trình diễn qua xn với yn đ.p.c.mTa tra cứu nghiệm riêng biệt bên dưới dạng xn = λn (λ 0).

Xem thêm: Jual Sniper Elite V1 Full Rip, Sniper Elite 1 Full Version Pc Free Download

Tgiỏi vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) Hotline là pmùi hương trình đặc trưng của (3).Trường hợp 1: Nếu (4) bao gồm hai nghiệm thực phân minh λ1 cùng λ2 (3) có nhì nghiệmriêng biệt chủ quyền đường tính xn = λ1n và yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường phù hợp 2: Nếu (4) bao gồm nghiệm knghiền là λ0, (3) gồm nhị nghiệm riêng biệt tự do tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường hợp 3: Nếu (4) có nhị nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) với cùng với r = A2 + B2 với α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) tất cả nhị nghiệm riêng rẽ tự do đường tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm bao quát Un = rn . 4Ví dụ 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 với λ2 = 2Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 Hệ pmùi hương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 cùng B = -1. nVậy nghiệm riêng biệt hài lòng là un = 2 – 2 5lấy một ví dụ 2: Tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương thơm trình sệt trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 với λ2 = 2 1Vậy nghiệm bao quát un = A 2n + B.2n. u0 = A + B = 0 Hệ pmùi hương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng biệt yêu cầu tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng thể un = (A + Bn)5nlấy một ví dụ 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm bao quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ pmùi hương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng cần tra cứu là un = 1 + nlấy ví dụ 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. n.Vậy nghiệm tổng quát un = Acos 3 + Bsin 3ví dụ như 6: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương thơm trình đặc trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. n.Vậy nghiệm bao quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương thơm trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 với B = 0. n.Vậy nghiệm riêng rẽ buộc phải tra cứu là un = 2n.cos 32. Phương trình không nên phân đường tính không thuần độc nhất vô nhị Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tìm kiếm nghiệm riêng U*n của (5) : ? r+) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng rẽ là : U*n = 1pq+) Nếu p+q = -1 rn Khi p -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi p = -2 thì nghiệm riêng biệt là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần tuyệt nhất links ta suy ra nghiệm tổng thể của (5).Trường vừa lòng Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét sinh hoạt dạng tổng quát mang đến PT không đúng phân tuyếntính thông số hằng cung cấp k.V. Phƣơng trình sai phân đường tính cấp k hệ số hằng.1. Pmùi hương trình sai phân đường tính thuần duy nhất cung cấp k thông số hằng:Là pmùi hương trình tất cả dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực. 6Ta search nghiệm riêng rẽ bên dưới dạng Un = λn, cầm cố vào (6) ta gồm phương trình sệt trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường hợp 1: Nếu (7) gồm k nghiệm thực rõ ràng λ1, λ2, … λk ta bao gồm k nghiệmriêng rẽ độc lập tuyến đường tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng thể : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường đúng theo 2:Nếu (7) bao gồm nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội s với k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta sửa chữa thay thế s nghiệm riêng biệt x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường hòa hợp 3: Nếu pmùi hương trình (7) bao gồm nghiệm phức, ví dụ điển hình λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ có nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) với k-2 nghiệm thực khác nhau, khikia tương xứng ta thay thế sửa chữa x1n = rn.cosnα với x2n = rn.sinnα vào nghiệm tổng quát.Nghiệm bao quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: Tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 cùng λ3 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: Tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình sệt trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 cùng λ3 = 3Vậy nghiệm tổng quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương thơm trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 cùng C = -5.Vậy nghiệm riêng rẽ hợp ý là un = (5 + 3n).2n – 5.3nví dụ như 3: Tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. n.Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Pmùi hương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cung cấp k hệ số hằngLà phương thơm trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực, fn 0n.Pmùi hương trình thuần tuyệt nhất tương xứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm tổng thể của pmùi hương trình (8) bằng nghiệm bao quát của phươngtrình (6) cộng cùng với nghiệm riêng biệt ngẫu nhiên của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng thể của (6) cùng xn là nghiệm riêng rẽ của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.trái lại hiệu 2 nghiệm riêng rẽ ngẫu nhiên của (8) cũng là nghiệm riêng của (6). Vậynghiệm tổng quát của (8) bởi nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng vớinghiệm riêng rẽ bất kỳ của (8).Cách tra cứu nghiệm riêng rẽ xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường vừa lòng 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cung cấp s của phương thơm trình đặc thù ( s có thể nhấn quý giá 0) thìnghiệm riêng gồm dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) với tra cứu ci bằng phươngpháp thông số bất định. Nếu λ = 1 không là nghiệm của pmùi hương trình đặc thù thì nghiệm riêng rẽ bao gồm dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 với search Ci bởi cách thức hệ số cô động. fn = Pm(n).βnTrường hợp 2: Nếu λ = β là nghiệm cung cấp s của phương trình đặc trưng (s rất có thể nhấn cực hiếm 0) thìnghiệm riêng rẽ tất cả dạng xn= Qm(n).ns.βn, cầm cố vào pmùi hương trình tìm Qm(n) bởi phươngpháp thông số cô động. Nếu λ = β không là nghiệm của phương thơm trình đặc trưng thì nghiệm riêng biệt có dạngxn= Qm(n).βn, cố gắng vào phương thơm trình kiếm tìm Qm(n) bằng phương pháp hệ số cô động. fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường hòa hợp 3: Ta search nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng ứng với f1(n) = Rl(n) (đem đến ngôi trường phù hợp 1) và x2n lànghiệm riêng ứng với f2(n) = Pm(n).βn (mang lại ngôi trường đúng theo 2). 5ví dụ như 1: Tìm một nghiệm riêng của phương thơm trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Pmùi hương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta tra cứu nghiệm riêng biệt dạng xn= an2 + bn+ cTtuyệt vào phương thơm trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. xn = -2n2 + 2n - 10Đồng tốt nhất thông số a = -2, b =2 và c = -10lấy ví dụ như 2: Tìm một nghiệm riêng của pmùi hương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương thơm trình đặc trưng λ2 –1 = 0 λ1= 1 và λ2 = -1 λ = một là nghiệm đơn ta tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Txuất xắc vào pmùi hương trình a = 1, b = c = 0 5lấy ví dụ 3: Tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 với λ2 = 2 ta tra cứu nghiệm riêng rẽ dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Ttốt vào pmùi hương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nlấy ví dụ 4: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc thù λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 với λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm 1-1 ta tra cứu nghiệm riêng dạng xn= A.n.2n 1 -nTxuất xắc vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nlấy ví dụ như 5: Tìm một nghiệm riêng của pmùi hương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 và ví dụ 3 nghiệm riêng xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không nên phân 9